基礎数学例

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$b + 9$ を $1$ で割ります。

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $b^{2} + b - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 2

$b$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ を掛けます。

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 3

項を簡約します。

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ステップ 3.1

$b$ と $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ をまとめます。

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配法則（FOIL法）を使って $(b - 2) (b + 3)$ を展開します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.2.1.2

$3$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.2.1.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.2.2

$3 b$ から $2 b$ を引きます。

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.4

簡約します。

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ステップ 4.4.1

指数を足して $b$ に $b^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1.1

$b$ に $b^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.4.1.1.1

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.4.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.4.2

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.4.3

$- 6$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 4.5

有理根検定を用いて $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ を因数分解します。

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ステップ 4.5.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 4.5.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

ステップ 4.5.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.5.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

ステップ 4.5.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

ステップ 4.5.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

ステップ 4.5.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

ステップ 4.5.3.5

$- 6$ に $1$ をかけます。

$2 - 6 + 4$

ステップ 4.5.3.6

$2$ から $6$ を引きます。

$- 4 + 4$

ステップ 4.5.3.7

$- 4$ と $4$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.5.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $b - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

ステップ 4.5.5

$b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ を $b - 1$ で割ります。

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ステップ 4.5.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

ステップ 4.5.5.2

被除数 $b^{3}$ の最高次項を除数 $b$ の最高次項で割ります。

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

ステップ 4.5.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

ステップ 4.5.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $b^{3} - b^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

ステップ 4.5.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

ステップ 4.5.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

ステップ 4.5.5.7

被除数 $2 b^{2}$ の最高次項を除数 $b$ の最高次項で割ります。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

ステップ 4.5.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

ステップ 4.5.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 b^{2} - 2 b$ の符号をすべて変更します。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

ステップ 4.5.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

ステップ 4.5.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

ステップ 4.5.5.12

被除数 $- 4 b$ の最高次項を除数 $b$ の最高次項で割ります。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

ステップ 4.5.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

ステップ 4.5.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 b + 4$ の符号をすべて変更します。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

ステップ 4.5.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

ステップ 4.5.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$b^{2} + 2 b - 4$

ステップ 4.5.6

$b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

ステップ 5

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ を掛けます。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$9$ と $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ をまとめます。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ を展開します。

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

指数を足して $b$ に $b^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$b$ に $b^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.3

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$b$ を移動させます。

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.3.2

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.4

$- 4$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.5

$- 1 b^{2}$ を $- b^{2}$ に書き換えます。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.2.7

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.3

$2 b^{2}$ から $b^{2}$ を引きます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.4

$- 4 b$ から $2 b$ を引きます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.5

分配則を当てはめます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.6

$9$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.7

分配法則（FOIL法）を使って $(9 b - 18) (b + 3)$ を展開します。

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ステップ 7.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1

指数を足して $b$ に $b$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1.1

$b$ を移動させます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.8.1.1.2

$b$ に $b$ をかけます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.8.1.2

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.8.1.3

$- 18$ に $3$ をかけます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.8.2

$27 b$ から $18 b$ を引きます。

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.9

$b^{2}$ と $9 b^{2}$ をたし算します。

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.10

$- 6 b$ と $9 b$ をたし算します。

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

ステップ 7.11

$4$ から $54$ を引きます。

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$

基礎数学 例

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